Étant donné que les nombres $p$-adiques possèdent une infinité de chiffres, il est nécessaire de les tronquer pour les manipuler sur machine. Cette remarque est à l'origine de difficultés particulières à la mise en place d'une algorithmique efficace dans un contexte $p$-adique. Les travaux présentés dans cette rubrique abordent ces questions selon plusieurs points de vue.

	X. Caruso, T. Vaccon, T. Verron On Polynomial Ideals And Overconvergence In Tate Algebras prépublication (2022), 9 pages In this paper, we study ideals spanned by polynomials or overconvergent series in a Tate algebra. With state-of-the-art algorithms for computing Tate Gröbner bases, even if the input is polynomials, the size of the output grows with the required precision, both in terms of the size of the coefficients and the size of the support of the series. We prove that ideals which are spanned by polynomials admit a Tate Gröbner basis made of polynomials, and we propose an algorithm, leveraging Mora's weak normal form algorithm, for computing it. As a result, the size of the output of this algorithm grows linearly with the precision. Following the same ideas, we propose an algorithm which computes an overconvergent basis for an ideal spanned by overconvergent series. Finally, we prove the existence of a universal analytic Gröbner basis for polynomial ideals in Tate algebras, compatible with all convergence radii.
	X. Caruso, M. Mezzarobba, N. Takayama, T. Vaccon Fast evaluation of some $p$-adic transcendental functions prépublication (2021), 15 pages We design algorithms for computing values of many $p$-adic elementary and special functions, including logarithms, exponentials, polylogarithms, and hypergeometric functions. All our algorithms feature a quasi-linear complexity with respect to the target precision and most of them are based on an adaptation to the $p$-adic setting of the binary splitting and bit-burst strategies.
	X. Caruso, T. Vaccon, T. Verron On FGLM Algorithms with Tate Algebras proceedings de la conférence ISSAC 2021 Tate introduced the notion of Tate algebras to serve, in the context of analytic geometry over the $p$-adics, as a counterpart of polynomial algebras in classical algebraic geometry. In former works, the formalism of Gröbner bases over Tate algebras has been introduced and advanced signature-based algorithms have been proposed. In the present article, we extend the FGLM algorithm to Tate algebras. Beyond allowing for fast change of ordering, this strategy has two other important benefits. First, it provides an efficient algorithm for changing the radii of convergence which, in particular, makes effective the bridge between the polynomial setting and the Tate setting and may help in speeding up the computation of Gröbner basis over Tate algebras. Second, it gives the foundations for designing a fast algorithm for interreduction, which could serve as a basic primitive in our previous algorithms and accelerate them significantly.
	X. Caruso, E. Eid, R. Lercier Fast computation of elliptic curve isogenies in characteristic two J. London Math. Soc. 104 (2021), 1901–1929 We propose an algorithm that calculates isogenies between elliptic curves defined over an extension $K$ of $\mathbb{Q}_2$. It consists in efficiently solving with a logarithmic loss of $2$-adic precision the first order differential equation satisfied by the isogeny. We give some applications, especially computing over finite fields of characteristic 2 isogenies of elliptic curves and irreducible polynomials, both in quasi-linear time in the degree.
	X. Caruso, T. Vaccon, T. Verron Signature-based algorithms for Gröbner bases over Tate algebras proceedings de la conférence ISSAC 2020 Introduced by Tate, Tate algebras play a major role in the context of analytic geometry over the $p$-adics, where they act as a counterpart to the use of polynomial algebras in classical algebraic geometry. In a former paper, the formalism of Gröbner bases over Tate algebras has been introduced and effectively implemented. One of the bottleneck in the algorithms was the time spent on reduction, which are significantly costlier than over polynomials. In the present article, we introduce two signature-based Gröbner bases algorithms for Tate algebras, in order to avoid many reductions. They have been implemented in Sage. We discuss their superiority based on numerical evidences.
	X. Caruso, T. Vaccon, T. Verron Gröbner bases over Tate algebras proceedings de la conférence ISSAC 2019 Tate algebras are fundamental objects in the context of analytic geometry over the $p$-adics. Roughly speaking, they play the same role as polynomial algebras play in classical algebraic geometry. In the present article, we develop the formalism of Gröbner bases for Tate algebras. We prove an analogue of the Buchberger criterion in our framework and design a Buchberger-like and a F4-like algorithm for computing Gröbner bases over Tate algebras. An implementation in Sage is also discussed.

	A. Bostan, X. Caruso, P. Dumas, G. Christol Fast coefficient computation for algebraic power series in positive characteristic The Open Book Series 2 (2019), 119–135 Nous revenons sur le théorème de Christol sur les séries algébriques en caractéristique positive et en proposons une nouvelle démonstration. Cette démonstration, qui agence intelligemment des ingrédients dissiminés dans les autres preuves classiques (théorème de Fürstenberg, opérateur de Cartier), est particulièrement adaptée aux applications algorithmiques que nous avons en vue. Précisément, nous en tirons profit pour la conception d'un nouvel algorithme efficace pour le calcul du $N$-ième coefficient d'une série formelle donnée, algébrique sur le sous-corps des fractions rationnelles (pour un corps de base parfait de caractéristique $p$). Notre algorithme a de nombreux avantages : il est plus général, plus natural et plus rapide que les précédents. Non seulement, sa complexité algébrique est linéaire en $\log N$ et quasi-linéaire en $p$ mais elle est aussi bien meilleure vis-à-vis des autres paramètres que dans tous les autres algorithmes qui étaient connus jusqu'à présent. De plus, lorsque le corps de base est un corps fini, notre nouvelle approche est à la base de la conception d'un algorithme encore plus rapide donc la complexité en linéaire en $\log N$ et quasi-linéaire en $\sqrt p$.
	X. Caruso, D. Roe, T. Vaccon ZpL: a $p$-adic precision package proceedings de la conférence ISSAC 2018 Nous présentons un nouveau package pour le logiciel de calcul formel SageMath. Ce package offre une implémentation des nombres $p$-adiques avec un suivi de précision basée sur la méthode des réseaux introduites dans nos précédents articles. Les algorithmes sous-jacents sont fondées sur les méthodes de différentiation automatique. Nous les détaillons, nous étudions leur complexité et discutons de nos choix d'implémentation. Nous illustrons les avantages de notre package (en comparaison des implémentations précédentes) à travers de nombreux exemples venant de l'algèbre linéaire, l'algèbre commutative et la théorie des équations différentielles.
	X. Caruso, D. Roe, T. Vaccon Characteristic polynomials of $p$-adic matrices proceedings de la conférence ISSAC 2017 Nous étudions la précision optimale sur les coefficients du polynôme caractéristique $\chi(A)$ ainsi que les valeurs propres d'une matrice $A$ à coefficients $p$-adiques donnée à précision finie. Lorsque $A$ est à coefficients entiers et connue à précision $O(p^N)$, nous donnons un critère (vérifiable en temps $\tilde O(n^\omega)$) pour que la précision optimale sur $\chi(A)$ soit exactement $O(p^N)$. We donnons également un algorithme de complexité $\tilde O(n^3)$ pour déterminer la précision optimale lorsque le critère précédent n'est pas satisfait.

X. Caruso Computations with $p$-adic numbers Les cours du CIRM 5 (2017), Journées Nationales de Calcul Formel, https://doi.org/10.5802/ccirm.25 Ce texte contient les notes d'un cours que j'ai donné aux Journées Nationales de Calcul Formel en janvier 2017. L'objectif du cours était de discuter l'algorithmique de bas niveau pour la manipulation des nombres $p$-adiques sur ordinateur. Le cours est divisé en deux parties : dans la première, on présente et compare différents paradigmes pour l'implémentation des nombres $p$-adiques tandis que, dans la seconde, on met au point un cadre général pour étudier la propagation de la précision dans un contexte ultramétrique puis on l'applique dans plusieurs situations concrètes. Présentation beamer du cours.

X. Caruso Numerical stability of Euclidean algorithm over ultrametric fields J. Number Theor. Bordeaux 29 (2017), 503–534 Nous étudions le problème de la stabilité du calcul des résultants et sous-résultants des polynômes définis sur des anneaux de valuation discrète complets. Nous démontrons que les algorithmes de type Euclide sont très instables en moyenne et, dans de nombreux cas, nous expliquons comment les rendre stables sans dégrader la complexité. Chemin faisant, nous déterminons la loi de la valuation des sous-résultants de deux polynômes $p$-adiques aléatoires unitaires de même degré.

	X. Caruso, D. Roe, T. Vaccon Division and slope factorization of $p$-adic polynomials proceedings de la conférence ISSAC 2016 Nous étudions deux opérations importantes sur les polynômes définis sur les corps de valuation discrète complets: la division euclidienne et le factorisation. Nous concevons en particulier un algorithme simple et efficace pour le calcul de la factorisation par les pentes qui a l'avantage d'éviter de travailler avec des exposants fractionnaires. Nous portons une attention particulière à l'étude de la stabilité numérique et analysons le comportement de notre algorithme selon plusieurs modèles de précision.
	X. Caruso, D. Roe, T. Vaccon $p$-adic stability in linear algebra proceedings de la conférence ISSAC 2015 En nous basant sur les méthodes de précision différentielle mises au point précédemment par les mêmes auteurs, nous étudions la stabilité $p$-adique des opérations usuelles sur les matrices et les espaces vectoriels. Nous montrons que les techniques à base de réseaux surpassent les méthodes naïves dans de nombreux cas pratiques comme la multiplication de matrices and la somme et l'intersection de sous-espaces vectoriels. We analysons également le calcul du déterminant, du polynôme caractéristique et de la factorisation LU. Nous complétons nos observations avec des résultats numériques.
	X. Caruso Random matrices over a DVR and LU factorization J. Symbolic Comput. 71 (2015), 98–123 Soient $R$ un anneau de valuation discrète et $K$ son corps des fractions. Si $M$ est une matrice à coefficients dans $R$ qui admet une factorisation LU, il peut arriver que les coefficients des facteurs $L$ et $U$ ne soient pas dans $R$ mais seulement dans $K$. Pour les applications algorithmiques, il est important d'avoir un bon contrôle sur les valuations de ces coefficients. Dans cet article, nous démontrons que ces valuations ne sont pas trop grandes en moyenne. Nous utilisons ensuite ce résultat pour concevoir un algorithme efficace pour le calcul d'une base d'un faisceau cohérent sur $\mathbb A^1_K$ à partir de la connaissance de ces fibres.
	X. Caruso, D. Roe, T. Vaccon Tracking $p$-adic precision LMS J. Comput. Math. 17 (2014), 274–294 Nous proposons une nouvelle méthode pour la propagation de la précision $p$-adique (et plus généralement ultramétrique) dans le calculs. Nous présentons également une application jouet au calcul stable de la suite SOMOS 4.
	X. Caruso, D. Lubicz Linear Algebra over $\mathbb Z_p[[u]]$ and related rings LMS J. Comput. Math. 17 (2014), 302–344 Soit $R$ un anneau de valuation discrète complet. On pose $S = R[[u]]$ et on fixe un entier $d$ strictement positif. Le but de cet article est de donner des outils algorithmiques pour le calcul effectif de toutes les opértions classiques (somme, intersection...) sur les sous-$S$-module de $S^d$. Au cours de l'analyse de la précision, nous aurons besoin d'introduire des anneaux de coefficients plus généraux qui nous paraissent intéressants en eux-mêmes. Nos résultats sont susceptibles d'avoir des applications à la théorie d'Iwasawa et la théorie de Hodge $p$-adique.
	X. Caruso, D. Lubicz Semi-simplifiée modulo $p$ des représentations semi-stables : une approche algorithmique prépublication (2013), 35 pages Le but de cet article est de présenter un algorithme de complexité polynômiale pour calculer la semi-simplifiée modulo $p$ d'une $\mathbb Q_p$-représentation semi-stable du groupe de Galois absolu d'un corps $p$-adique (i.e. une extension finie de $\mathbb Q_p$). Pour ce faire, nous utilisons abondamment la théorie de Hodge $p$-adique et, en particulier, la théorie des modules de Breuil–Kisin.