Xavier Caruso
Chargé de recherche en mathématiques au CNRS
Représentation galoisiennes

Les travaux présentés dans cette rubrique concernent principalement les représentations galoisiennes (potentiellement) semi-stables, entières et de torsion : j'obtiens, à leur sujet, des théorèmes de classification, j'en étudie diverses propriétés de ramification et m'intéresse à leurs espaces de déformations. L'outil principal que j'utilise est la théorie des modules de Breuil–Kisin.

X. Caruso, A. David, A. Mézard
Variétés de Kisin stratifiées et déformations potentiellement Barsotti–Tate
à paraître à J. Inst. Math. Jussieu

Soient $F$ une extension finie non ramifiée de $\mathbb Q_p$ et $\bar\rho$ une représentation modulo $p$ irréductible de dimension $2$ du groupe de Galois absolu de $F$. L'objet de ce travail est la détermination de la variété de Kisin qui paramètre les modules de Breuil–Kisin associés à certaines familles de déformations potentiellement Barsotti–Tate de $\bar\rho$. Nous démontrons que cette variété est une réunion finie de produits de $\mathbb P^1$ qui s'identifie à une sous-variété explicite connexe de $(\mathbb P^1)^{[F:\mathbb Q_p]}$. Nous définissons une stratification de la variété de Kisin en sous-schémas localement fermés et expliquons enfin comment la variété de Kisin ainsi stratifiée peut aider à déterminer l'anneau des déformations potentiellement Barsotti–Tate de $\bar\rho$.
X. Caruso, A. David, A. Mézard
Un calcul d'anneaux de déformations potentiellement Barsotti–Tate
à paraître à Trans. AMS

Soit $F$ une extension non ramifiée de $\mathbb Q_p$ incluse dans une clôture algébrique $\bar{\mathbb Q}_p$ de $\mathbb Q_p$ fixée. Le premier objectif de ce travail est de présenter une méthode purement locale pour calculer les anneaux de déformations potentiellement Barsotti–Tate de type galoisien modéré de niveau $[F : \mathbb Q_p] $ des représentations irréductibles de dimension $2$ de $\text{Gal}(\bar{\mathbb Q}_p /F)$. Nous appliquons ensuite cette méthode dans le cas particulier où $F$ est de degré $2$ sur $\mathbb Q_p$, ce qui nous conduit, dans ce cas, à la détermination presque exhaustive de ces anneaux de déformations. Notre approche met en évidence un lien, apparemment ténu, entre la structure de ces anneaux de déformations et la géométrie de la variété de Kisin correspondante.
En guise de corollaire, nous vérifions, toujours dans le cas où $F$ est de degré $2$ sur $\mathbb Q_p$ et à l'exception de deux cas très particuliers, une conjecture de Kisin qui prédit que les multiplicités galoisiennes intrinsèques valent toutes $0$ ou $1$.
X. Caruso, D. Lubicz
Semi-simplifiée modulo $p$ des représentations semi-stables : une approche algorithmique
prépublication (2013), 35 pages

Le but de cet article est de présenter un algorithme de complexité polynômiale pour calculer la semi-simplifiée modulo $p$ d'une $\mathbb Q_p$-représentation semi-stable du groupe de Galois absolu d'un corps $p$-adique (i.e. une extension finie de $\mathbb Q_p$). Pour ce faire, nous utilisons abondamment la théorie de Hodge $p$-adique et, en particulier, la théorie des modules de Breuil–Kisin.
X. Caruso
Estimation des dimensions de certaines variétés de Kisin
à paraître à J. reine angew. Math.

Dans cet article, nous nous intéressons aux dimensions de certaines variétés qui ont été introduites récemment par Kisin pour démontrer la modularité de certaines représentations galoisiennes. Nous étudions plus spécialement un cas particulier pour lequel nous donnons une estimation de la dimension en question, puis, en nous basant sur ce résultat, nous énonçons une conjecture dans le cas général.
X. Caruso
Représentations galoisiennes $p$-adiques et $(\varphi,\tau)$-modules
Duke Math. J. 162 (2013), 2525–2607

Étant donné un nombre premier impair $p$ et un corps $p$-adique $K$, on développe dans cet article, un analogue de la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules de Fontaine en remplaçant la $p$-extension cyclotomique par l'extension $K_\infty$ de $K$ obtenue en ajoutant un système compatible de racines $p^n$-ièmes d'une uniformisante $\pi$ fixée. Ceci nous conduit à une nouvelle classification des représentations $p$-adiques de $G_K = \text{Gal}(\bar K/K)$ via des $(\varphi,\tau)$-modules. Nous établissons ensuite un lien entre la théorie des $(\varphi,\tau)$-modules à celle des $(\varphi,N_\nabla)$-modules de Kisin. Comme corollaire, nous répondons à une question de Tong Liu en démontrant que, lorsque $K$ est une extension finie de $\mathbb Q_p$, toute représentation de $E(u)$-hauteur finie de $G_K$ est potentiellement semi-stable.
X. Caruso
$\mathbb F_p$-représentations semi-stables
Ann. Inst. Fourier 61 (2011), 1683–1747

Soient $p$ un nombre premier et $K$ un corps $p$-adique à corps résiduel parfait (par exemple une extension finie de $\mathbb Q_p$) dont l'indice de ramification absolue est noté $e$. Afin d'étudier les représentations semi-stables de $p$-torsion de $G_K = \text{Gal}(\bar K/K)$, Breuil a défini pour tout entier positif $r
X. Caruso, T. Liu
Some bounds for ramification of $p^n$-torsion semi-stable representations
J. of Algebra 325 (2011), 70–96

Soient $p$ un nombre premier impair, $K$ une extension finie de $\mathbb Q_p$, $G_K = \text{Gal}(\bar K/K)$ son groupe de Galois absolu et $e$ son indice de ramification absolue. Supposons que $T$ soit une représentation de $G_K$ annulée par $p^n$ qui est isomorphe au quotient de deux réseaux dans une représentation semi-stable à poids de Hodge–Tate compris entre $0$ et $r$. Nous démontrons qu'il existe une constante $\mu$ qui dépend uniquement de $n$, $e$ et $r$ telle que le groupe de ramification supérieure $G_K^{(\mu)}$ agisse trivialement sur $T$.
X. Caruso
Classification of integral models of $(\mathbb Z/p\mathbb Z)_K$ via Breuil–Kisin theory
J. of Algebra 323 (2010), 1955–1957
X. Caruso, D. Savitt
Poids de l'inertie modérée de certaines représentations cristallines
J. Théor. Nombres Bordeaux 22 (2010), 79–96

Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de mon autre article avec D. Savitt (voir ci-dessous) qui a pour objet d'expliciter l'action de l'inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo $p$ d'une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines $V$ du groupe de Galois absolu d'un corps $p$-adique $K$. Lorsque $K$ n'est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu'elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge–Tate de $V$, au moins si ceux-ci appartiennent à un même intervalle d'amplitude $p-2$. Les exemples que l'on calcule dans cet article montrent en particulier que le résultat simple de Fontaine et Laffaille ne s'étend pas au cas absolument ramifié.
X. Caruso
Sur la classification de quelques $\varphi$-modules simples
Mosc. Math. J. 9 (2009), 562–568
X. Caruso, T. Liu
Quasi-semi-stable representations
Bull. Soc. Math. France 137 (2009), 185–223

Soient $K$ un corps $p$-adique et $G_K$ son groupe de Galois absolu. Soit $K_\infty$ l'extension de $K$ obtenue en ajoutant les racines $p^n$-ièmes d'une uniformisante fixée. Notons $G_\infty \subset G_K$ le groupe de Galois absolu de $K_\infty$. Dans cet article, on définit une classe de représentations $p$-adiques de torsion du groupe $G_\infty$, que l'on appelle \emph{quasi-semi-stables}. Nous montrons que ces représentations sont explicitement décrites \emph{via} une certaine catégories d'objets d'algèbre linéaire. Les résultats dans cette note doivent être considérés comme une première étape dans l'étude de la structure des représentations qui apparaissent comme quotients de deux réseaux d'une représentation galoisienne cristalline (resp. semi-stable).
X. Caruso, D. Savitt
Polygones de Hodge, de Newton et de l'inertie modérée des représentations semi-stables
Math. Ann. 343 (2009), 777–789

Nous définissons le polynôme de l'inertie modérée d'une représentation semi-stable et étudions sa position vis-à-vis des polynômes de Hodge et de Newton.
X. Caruso
Conjecture de l'inertie modérée de Serre
Invent. Math. 171 (2008), 629–699

On considère $K$ un corps complet pour une valuation discrète, de caractéristique nulle et dont le corps résiduel est supposé parfait de caractéristique $p$. On appelle $\mathcal O_K$ l'anneau des entiers de $K$, et $\bar K$ une clôture algébrique. Soit $X_K$ un schéma propre et lisse sur $K$ admettant un modèle propre et semi-stable $X$ sur $\mathcal O_K$. Dans cet article, on démontre un isomorphisme de périodes reliant le $r$-ième groupe de cohomologie étale de $X_{\bar K}$ à coefficients dans $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et un $r$-ième groupe de cohomologie log-cristalline de la fibre spéciale de $X$. Nous avons toutefois la restriction $er < p-1$ (et une restriction légèrement plus forte si $n>1$) où $e$ désigne l'indice de ramification absolu de $K$. On en déduit une preuve complète de la conjecture de Serre sur l'inertie modérée.
X. Caruso
Représentations semi-stables de torsion dans le cas $er < p-1$
J. reine angew. Math. 594 (2006), 35–92

Soit $K$ un corps local de caractéristique mixte non absolument ramifié. La théorie de Fontaine-Laffaille permet de décrire les $\mathbb Z_p$-représentations galoisiennes cristallines entières de torsion ($p$ désigne la caractéristique du corps résiduel). Poursuivant les précédents travaux, Breuil a introduit de nouveaux modules et a obtenu une théorie entière et de torsion pour les représentations semi-stables. Dans cet article, nous reprenons les travaux de Breuil et les adaptons dans le cas où le corps local $K$ peut être absolument ramifié. Nous avons toutefois une contrainte sur l'indice de ramification absolu.

Dernière modification le 10 mai 2016