Xavier Caruso
Chargé de recherche en mathématiques au CNRS
Articles type Monthly

Les articles presentés dans cette rubrique proposent des développements originaux qui reposent sur des objets mathématiques et des thématiques enseignés lors du premier cycle universitaire. Ils s'adressent ainsi en priorité aux enseignants du supérieur (en particulier aux enseignants des classes préparatoires) mais sont éventuellement susceptibles d'intéresser un plus large public, incluant notamment les étudiants préparant le concours de l'agrégation.

Le American Mathematical Monthly (ou plus simplement Monthly) est une révue qui publie régulièrement des articles du type de ceux présentés sur cette page. Ceci explique le titre donné à cette rubrique.

X. Caruso
Application des fractions continues à la construction des gammes musicales
Revue de Math. Spé. 123-1 (2012)

Les fractions continues peuvent être considérées comme une merveille des mathématiques. Les propriétés absolument remarquables qu'elles possèdent font qu'elles interviennent naturellement dans des domaines très variés. Par exemple, elles permettaient d'apporter un éclairage sur l'apparition de la suite de Fibonacci dans la répartition des graines du tournesol. Le but de cet article est de montrer avec quelle élégance elles s'immiscent aussi en musique et unifient la définition des gammes classiques.
X. Caruso, I. Kortchemski
Statistiques du nombre de cycles d'une permutation
Revue de Math. Spé. 121-4 (2011)

Le but de ce texte est d'étudier certaines propriétes statistiques du nombre de cycles d'une permutation de $\{1, \dots, n\}$. Typiquement, nous nous demandons combien de cycles en moyenne possède une telle permutation, ou comment quantifier l'écart à cette moyenne.
X. Caruso, S. Caruso
Combinatoire du point de croix
Revue de Math. Spé. 121-3 (2011)

Dans cet article, nous expliquons une technique de broderie classique : le point de croix. Nous nous intéressons ensuite à la question de minimiser la longueur de fil utilisée pour broder un dessin donné et résolvons le problème lorsque le dessin est 4-connexe (notion définie dans le texte). Nous décrivons également un algorithme qui brode le dessin avec la quantité minimale de fil attendue. Enfin, dans une dernière partie, nous étudions plusieurs exemples de dessins qui ne sont pas 4-connexes.
X. Caruso
Une incarnation peu connue du corps des nombres réels
Revue de Math. Spé. 119-4 (2009), 5–8

Le but de cette note est de donner une pretentation peu connue du corps des nombres rdesls à partir de la notion de quasi-endomorphismes de $\mathbb Z$.
X. Caruso
Autour de l'hypothèse du continu : construction de $\aleph_1$
Quadrature 73 (2009), 16–19

Dans cette note, on expose une construction d'un ensemble de cardinal $\aleph_1$ (le plus petit cardinal indénombrable) qui a la vertu de ne pas dépendre de l'hypothèse du continu.
X. Caruso
Construction à la règle trop courte et au compas à ouverture limitée
Revue de Math. Spé. 119-2 (2009), 7–13

La théorie des constructions à la règle et au compas suppose toujours implicitement que l'on dispose d'instruments idéaux. En particulier, les règles sont infiniment longues (ou au moins aussi longues qu'on le souhaite) et les compas peuvent avoir une ouverture arbitrairement grande. Dans la pratique, évidemment, les instruments des écoliers ont des tailles bien départir de quelques constructions, nous montrons dans cette note que cela n'est pas un problème, du moins encore une fois théoriquement.
X. Caruso
Trisection de l'angle et duplication du cube
Revue de Math. Spé. 118-4 (2008), 24–28

Le but de cette note est de montrer que les deux problèmes historiques de constructions à la règle et au compas qui sont la trisection de l'angle et la duplication du cube sont, en un sens, indépendants. Précisément, on montre que l'utilisation d'un instrument qui duplique le cube ne permet de trisecter aucun angle supplémentaire que ne le permettent, seuls, la règle et le compas. Et, réciproquement, on prouve que la duplication du cube reste impossible si l'on s'autorise à utiliser un instrument qui trisecte les angles.
X. Caruso, D. Pigeon
Autour du théorème des nombres premiers
Revue de Math. Spé. 118-3 (2008), 3–15

On donne une méthode générale et élémentaire pour obtenir des encadrements « à la Tchebychev » de $\pi(x)$, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$. Numériquement, on constate que ces estimations semblent de plus en plus précises, ce qui nous amène à nous demander si la méthode converge pour donner au final le théorème des nombres premiers. Nous montrons et discutons un retultat déconcertant : c'est effectivement le cas mais sous l'hytpohèse du théorème des nombres premiers.
X. Caruso
Quelques identités combinatoires en faveur de l'existence du corps à un élément
Revue de Math. Spé. 117-1 (2006), 36–44

Dans cette note, on pretente une version modifiée des entiers (qui dépend d'un paramètre $q$) qui amène à définir par aalogie certaines quantités combinatoires moins usuelles. On montre toutefois que ces nombres apparaissent naturellement dans certaines formules (et notamment la formule du binôme) et qu'ils sont également reliés de très près à des problèmes de dénombrement. L'existence de ces entiers modifiés et la similarité de certaines formules avec les formules usuelles de combinatoire amènent à penser qu'il doit exister un corps à un élément (qui n'est pas l'anneau nul !) et une géométrie sur celui-ci.
X. Caruso
Nombre d'or et tournesol
Revue de Math. Spé. 116-4 (2006), 7–23

On observe que les graines de tournesol ont une répartition très particulière ; par exemple, deux graines consécutives sont espacées d'un angle polaire constant environ égal à $2\pi\varphi$ où $\varphi = \frac{1+\sqrt 5} 2$ est le nombre d'or. Dans cet article, on montre (dans une certaine limite) que cette observation est compatible avec une loi d'optimisation qui stipule que les graines de tournesol ont tendance à se positionner de façon à minimiser la place occupée par les interstices qui les séparent.
X. Caruso, P. Bornsztein
Des formes bilinéaires en combinatoire II
Revue de Math. Spé. 115-3 (2005), 12–14

Cet article fait suite à l'article ci-dessus. On en reprend un exemple, pour lequel on donne nouvelle solution proposée par un élève de terminale.
X. Caruso, P. Bornsztein
Des formes bilinéaires en combinatoire I
Revue de Math. Spé. 114-3 (2004), 35–44

On montre comment l'introduction de certains concepts algébriques, en l'occurrence les formes bilinéaires, peuvent être utiles à la résolution de certains problèmes combinatoires. On crée ainsi un pont entre deux domaines des mathématiques sans rapport évident.

Dernière modification le 7 mai 2016