Xavier Caruso
Directeur de recherche en mathématiques au CNRS
Probabilités

En tant que groupe topologique compact, l'ensemble des entiers $p$-adiques hérite d'une mesure de probabilité : la mesure de Haar. De nombreuses questions de probabilité qui sont classiques dans le cadre des nombres réels trouvent ainsi un analogue dans le contexte $p$-adique ; il en va ainsi par exemple de l'étude des matrices ou des polynômes aléatoires. Les travaux présentés dans cette rubrique abordent ces questions.

X. Caruso
Almost all non-archimedean Kakeya sets have measure zero
à paraître à Confluentes Math.

Nous étudions les ensembles de Kakeya sur les corps locaux non-archimédiens avec un point de vue probabiliste: nous définissons une mesure de probabilité sur l'ensemble de ces ensembles de Kakeya et démontrons que presque tous les ensembles de Kakeya non-archimédiens ont une mesure de Haar nulle. Nous discutons également d'un analogue non-archimédien de la conjecture de Kakeya.
Illustrations : un ensemble de Kakeya 2-adique en dimension 2 et en dimension 3.
X. Caruso
Numerical stability of Euclidean algorithm over ultrametric fields
J. Number Theor. Bordeaux 29 (2017), 503–534

Entre autres choses, nous déterminons la loi de la valuation des sous-résultants de deux polynômes $p$-adiques aléatoires unitaires de même degré.
X. Caruso
Random matrices over a DVR and LU factorization
J. Symbolic Comput. 71 (2015), 98–123

Soient $R$ un anneau de valuation discrète et $K$ son corps des fractions. Si $M$ est une matrice à coefficients dans $R$ qui admet une factorisation LU, il peut arriver que les coefficients des facteurs $L$ et $U$ ne soient pas dans $R$ mais seulement dans $K$. Dans cet article, nous décrivons la loi de ces valuations et en déduisons des estimations sur leurs moyennes et leurs écarts type.

Dernière modification le 17 novembre 2018