Xavier Caruso
Chargé de recherche en mathématiques au CNRS
Articles et sujets de réflexion

Articles d'exposition

X. Caruso, B. Grébert, X. Lachambre, S. Vũ Ngọc
Les 5 minutes Lebesgue
La Gazette 151 (2017), 34–36
X. Caruso, P. Bornzstein
Au cœur des Olympiades Internationales de Mathématiques
Quadrature 71 (2009), 31–44

Les Olympiades Internationales de Mathématiques (O.I.M.) existent depuis 1959. Il s'agit de la plus vieille compétition internationale de mathématiques et elle a lieu une fois par an dans un pays hôte. Elle s'adresse aux élèves de moins de 20 ans n’ayant pas encore commencé d’études universitaires ou assimilables.
X. Caruso, d'après une présentation de J. Yebbou
Une démonstration foudroyante du théorème de Morley

Une démonstration en une page du fameux théorème de Morley qui m'a été enseignée par J. Yebbou lors d'un stage de préparation aux olympiades de mathématiques. La démonstration n'utilise aucun outil sophistiquée : elle repose uniquement sur une construction géométrique asticieuse et sur la loi des sinus.
X. Caruso
Puiseux et les coefficients en $t$
Tangente Hors-série Les équations algébriques

Dans cet articles, nous donnons quelques outils pour résoudre les équations algébriques (dont l'inconnue est $x$ disons) dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes en $t$.
X. Caruso, P. Bornzstein, P. Nolin, M. Tibouchi
Cours d'arithmétique

Un cours d'arithmétique destiné aux élèves de la préparation française aux compétitions françaises de mathématiques. Le cours est divisé en quatre parties : (1) premiers concepts, (2) division euclidienne, (3) congruences, (4) équations diophantiennes. Il est accompagné de (très) nombreux exercices corrigés.
X. Caruso
L'axiome du choix

Ce texte, écrit à l'origine pour être une FAQ d'un forum de discussion sur les maths, présente dans un premier temps les fondements des mathématiques en s'appuyant sur la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel. Nous formulons ensuite l'axiome du choix dans cette théorie, et discutons plusieurs exemple dans lesquels il est soit utilisé, soit non utilisé. Il est censé pouvoir se lire avec très peu de bagage mathématique, toutefois il risque d'en rébuter plus d'un qui n'a jamais été confronté à la logique.

Et encore d'autres articles ici...

Exposés à Mathematic Park

Exposé de X. Caruso
Bons ordres sur $\mathbb N$

On s'intéresse dans cet exposé à la théorie des ordinaux récursifs. Un ordinal est un ensemble muni d'un bon ordre : cela signifie que chaque fois que l'on a deux éléments de l'ensemble, on sait dire lequel est le plus petit, et que chaque fois que l'on a une partie non vide de l'ensemble, on sait lui trouver un plus petit élément. Le premier exemple primordial d'ordinal est l'ensemble des entiers $\mathbb N$ muni de l'ordre que l'on connaît tous. On cherche, dans cet exposé, à décrire d'autres ordinaux de façon explicite, c'est-à-dire décrite par un programme informatique, ou du moins par un algorithme.
Exposé de D. Zvonkine
Dessins d'enfants et $\sqrt{21}$

Étant donné un polynôme (suffisamment régulier) à coefficients complexes, on peut regarder l'image réciproque (dans $\mathbb C$) du segment $[0,1]$. On obtient alors un graphe, précisément un arbre, que l'on appelle un dessin d'enfant. Le but de cet exposé est d'expliquer plus en détails la situation et de préciser comment des transformations naturelles sur les complexes (par exemple transformer $\sqrt{21}$ en $-\sqrt{21}$) se repercutent sur les arbres.
Exposé de Y. Ollivier
Concentration de la mesure

Si l'on lance un grand nombre de fois une pièce de monnaie et que l'on note respectivement le nombre de « pile » et de « face » obtenues, on obtiendra probablement des nombres comparables. Précisément la loi de grands nombres dit que l'écart observé ne varie pas plus que la racine carrée du nombre de lancers. Autrement dit, la fonction $\{0,1\}^n \to \mathbb N$, qui a une suite de $n$ éléments de $\{0,1\}$ associe leur somme, est presque constante égale à $\frac n 2$. On se demande de quelle façon ce théorème peut s'énoncer proprement, puis se généraliser.
Exposé de O. Benoist
Le théorème de Sarkovskii

Soit $f$ une fonction continue du segment $[0,1]$ dans lui-même qui admet un point de période $3$, c'est-à-dire qui est telle qu'il existe un réel $x$ tel que $f(x) \neq x$ et $f(f(f(x))) = x$. Alors, $f$ admet un point de période $n$ pour tout entier $n$. Cet exposé démontre et généralise ce résultat.
Exposé de J. Riou
Les groupes de Coxeter

Considérons un pentagone régulier et traçons l'ensemble de ses axes de symétrie appelés les murs. Ils délimitent certaines parties du plan, naturellement les chambres. On remarque deux choses. Premièrement le nombre de chambres est le même que le nombre de transformations (symétries et rotations) laissant fixe le pentagone. Deuxièmement, chaque des tranformations précédentes peut s'écrire comme la composée des symétries par rapport aux murs d'une même chambre. Ces constatations se vérifient encore sur tous les polygônes réguliers et aussi sur des figures spatiales (il faut alors considérer les plans de symétries) telles le cube ou le tétraèdre. Le but de cet exposé est de fixer un cadre suffisamment général pour expliquer ces phénomènes.
Exposé de M. Tibouchi
Discussions rationnelles d'une courbe et d'un triangle

Quels sont les entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à côtés rationnels ? Cette question a priori naïve, bien que très vieille, ne connaît toujours pas de réponse satisfaisante, sinon conjecturale. On explique, ici, comment ce problème est rélié à l'étude des courbes elliptiques et comment sa résolution fait intervenir des mathématiques très actuelles.
Exposé de P. Bornsztein
Colorie-moi le ciel !

Des problèmes de coloriage... en veux-tu ? en voilà ! L'idée directrice est celle qui est sous-jacente aux théorèmes de Ramsey : si l'on colorie une certaine structure suffisamment grande avec un nombre suffisamment petit de couleurs, on va forcément trouver une configuration monochrome. Par exemple, de façon très immédiate, si l'on colorie le plan en deux couleurs, on va forcément trouver deux points à distance $1$ de même couleur. Ce théorème se généralise ainsi : si l'on colorie le plan en un nombre fini de couleurs, et que l'on se donne un ensemble fini de points dans ce plan, il existe une homothétie qui envoie cet ensemble fini sur un ensemble monochrome.
Exposé de X. Caruso
Choisissez votre corps !

Un corps est un ensemble de nombres que l'on sait additionner, soustraire, multiplier et diviser. Par exemple $\mathbb Q$, $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ sont des corps, mais ce ne sont pas les seuls. On étudie dans un premier temps les corps finis, et établissons leur classification. On s'intéresse à d'autres corps plus gros, souvent appelés corps locaux : moralement les éléments du corps finis vont être les chiffres et on s'efforce d'écrire des nombres à partir de ces briques.

Sujets de réflexion pour génies en herbe

Équations algébriques

Depuis que vous connaissez les équations, je suis sûr que vous rêvez de formules générales pour les résoudre. Celles de degré 1, c'est simple, mais les autres. Celles de degré 2, de degré 3, etc., on fait comment ? Ce document donne des méthodes générales pour résoudre les équations de degré 2, 3 et 4. Pourquoi pas 5 me diriez-vous ? Parce qu'aussi incroyable que cela puisse paraître, on n'en connaît et même mieux, on a prouvé qu'il n'en existait pas. Mais ce n'est pas pour ça qu'il faut abandonner...
Le plan projectif

« Nous sommes deux droites parallèles et nous nous intersectons, et c'est notre choix ». Voici grosso modo la philosophie de la géométrie projective... Ce n'est pas idiot en fait ; imaginez une photographie d'un long couloir vide. Les deux murs du couloir sont parallèles mais sur la photographie, le couloir va devenir de plus en plus étroit et les deux murs du couloir vont finir par s'intersecter en un certain point. La géométrie projective donne un cadre mathématique très puissant à ce phénomène.
Jeux de Nim

Un jeu a priori comme les autres, a priori sans grand intêret juste amusant. Mais si l'on veut jouer pour gagner, il faut jouer de façon intelligente et ce n'est pas toujours simple. On n'a jamais droit à l'erreur, dans le sens où pour un adversaire entraîné toute erreur peut être fatale. Comment choisir le meilleur coup à chaque moment ? Les mathématiques peuvent répondre à cette question... et après avoir lu ce texte, vous pourrez vous amuser à battre tous vos amis systématiquement à ce petit jeu.
Un, deux, trois... et ensuite ?

Ou encore quel est le nombre le plus grand ? C'est un jeu auquel je jouais personnellement beaucoup quand j'étais enfant. C'est tellement fascinant et troublant les grands nombres et on est tellement content de savoir compter plus loin que ses copains. Mais un jour que je mettais quelqu'un au défi de connaître des nombres plus grands que moi, il m'a répondu « l'infini ». Ah, que dire ? « l'infini plus un », évidemment. En effet, c'est bien un nombre, et il est bien strictement plus grand que « l'infini ». Mais alors quel est le nombre le plus grand ?

À la frontière de la recherche

Je renvoie enfin mes lecteurs possédant déjà un bagage mathématique solide (tels que les enseignants en premier cycle d'université ou les étudiants préparant le concours de l'agrégation) à cette autre page.

Dernière modification le 12 février 2017