Xavier Caruso
Chargé de recherche en mathématiques au CNRS
Entre 2003 et 2006

L'idée de Mathematic Park n'a pas germée en 2011 mais, dès 2003, alors que j'étais en train de terminer mes études à l'ÉNS de Paris. C'est en effet, à ce moment, que, dans les sous-sols du bâtiment Rataud, j'ai organisé un séminaire le dimanche après-midi pour une petite dizaine de lycéens (que j'avais connus lors de mes activités à Animath) triés sur le volet. Les exposés étaient généralement très longs (ils duraient souvent toute l'après-midi) et toujours l'occasion d'échanges très intéressants. Ce séminaire a pris fin en 2006 lorsque j'ai déménagé à Rennes. Ce n'est qu'en 2011, nostalgique de cette époque, que j'ai décidé de refaire vivre Mathematic Park à l'IHP dans la forme que l'on connaît actuellement.

J'avais, à l'époque, tapé des notes de plusieurs exposés donnés dans ce contexte :

Exposé de X. Caruso
Bons ordres sur $\mathbb N$

On s'intéresse dans cet exposé à la théorie des ordinaux récursifs. Un ordinal est un ensemble muni d'un bon ordre : cela signifie que chaque fois que l'on a deux éléments de l'ensemble, on sait dire lequel est le plus petit, et que chaque fois que l'on a une partie non vide de l'ensemble, on sait lui trouver un plus petit élément. Le premier exemple primordial d'ordinal est l'ensemble des entiers $\mathbb N$ muni de l'ordre que l'on connaît tous. On cherche, dans cet exposé, à décrire d'autres ordinaux de façon explicite, c'est-à-dire décrite par un programme informatique, ou du moins par un algorithme.
Exposé de D. Zvonkine
Dessins d'enfants et $\sqrt{21}$

Étant donné un polynôme (suffisamment régulier) à coefficients complexes, on peut regarder l'image réciproque (dans $\mathbb C$) du segment $[0,1]$. On obtient alors un graphe, précisément un arbre, que l'on appelle un dessin d'enfant. Le but de cet exposé est d'expliquer plus en détails la situation et de préciser comment des transformations naturelles sur les complexes (par exemple transformer $\sqrt{21}$ en $-\sqrt{21}$) se repercutent sur les arbres.
Exposé de Y. Ollivier
Concentration de la mesure

Si l'on lance un grand nombre de fois une pièce de monnaie et que l'on note respectivement le nombre de « pile » et de « face » obtenues, on obtiendra probablement des nombres comparables. Précisément la loi de grands nombres dit que l'écart observé ne varie pas plus que la racine carrée du nombre de lancers. Autrement dit, la fonction $\{0,1\}^n \to \mathbb N$, qui a une suite de $n$ éléments de $\{0,1\}$ associe leur somme, est presque constante égale à $\frac n 2$. On se demande de quelle façon ce théorème peut s'énoncer proprement, puis se généraliser.
Exposé de O. Benoist
Le théorème de Sarkovskii

Soit $f$ une fonction continue du segment $[0,1]$ dans lui-même qui admet un point de période $3$, c'est-à-dire qui est telle qu'il existe un réel $x$ tel que $f(x) \neq x$ et $f(f(f(x))) = x$. Alors, $f$ admet un point de période $n$ pour tout entier $n$. Cet exposé démontre et généralise ce résultat.
Exposé de J. Riou
Les groupes de Coxeter

Considérons un pentagone régulier et traçons l'ensemble de ses axes de symétrie appelés les murs. Ils délimitent certaines parties du plan, naturellement les chambres. On remarque deux choses. Premièrement le nombre de chambres est le même que le nombre de transformations (symétries et rotations) laissant fixe le pentagone. Deuxièmement, chaque des tranformations précédentes peut s'écrire comme la composée des symétries par rapport aux murs d'une même chambre. Ces constatations se vérifient encore sur tous les polygônes réguliers et aussi sur des figures spatiales (il faut alors considérer les plans de symétries) telles le cube ou le tétraèdre. Le but de cet exposé est de fixer un cadre suffisamment général pour expliquer ces phénomènes.
Exposé de M. Tibouchi
Discussions rationnelles d'une courbe et d'un triangle

Quels sont les entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle à côtés rationnels ? Cette question a priori naïve, bien que très vieille, ne connaît toujours pas de réponse satisfaisante, sinon conjecturale. On explique, ici, comment ce problème est rélié à l'étude des courbes elliptiques et comment sa résolution fait intervenir des mathématiques très actuelles.
Exposé de P. Bornsztein
Colorie-moi le ciel !

Des problèmes de coloriage... en veux-tu ? en voilà ! L'idée directrice est celle qui est sous-jacente aux théorèmes de Ramsey : si l'on colorie une certaine structure suffisamment grande avec un nombre suffisamment petit de couleurs, on va forcément trouver une configuration monochrome. Par exemple, de façon très immédiate, si l'on colorie le plan en deux couleurs, on va forcément trouver deux points à distance $1$ de même couleur. Ce théorème se généralise ainsi : si l'on colorie le plan en un nombre fini de couleurs, et que l'on se donne un ensemble fini de points dans ce plan, il existe une homothétie qui envoie cet ensemble fini sur un ensemble monochrome.
Exposé de X. Caruso
Choisissez votre corps !

Un corps est un ensemble de nombres que l'on sait additionner, soustraire, multiplier et diviser. Par exemple $\mathbb Q$, $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ sont des corps, mais ce ne sont pas les seuls. On étudie dans un premier temps les corps finis, et établissons leur classification. On s'intéresse à d'autres corps plus gros, souvent appelés corps locaux : moralement les éléments du corps finis vont être les chiffres et on s'efforce d'écrire des nombres à partir de ces briques.

Dernière modification le 30 avril 2016